mattgent1991

Potenza Elettrica

La Potenza è definita come “il lavoro svolto nell’unità di tempo”. In Elettritecnica si fa riferimento al lavoro svolto dal Campo Elettrico sulla carica elettrica (elettrone). Definito il “Potenziale Elettrico” v(t) e la “Corrente Elettrica” i(t) si può scrivere la potenza p(t) (potenza istantanea) come :

p(t) = v(t)*i(t)

Le unità di misura, riconosciute dal Sistema Internazionale (S.I.) sono:

Per la tensione : [v(t)] V Volt

Per la corrente: [i(t)] A Ampere

Per la potenza: [p(t) ] W Watt

La potenza media , sul perioto T (inverso della frequenza). è definibile come segue:

P = \frac{1}{T}*\int_{0}^{T}v(t)*i(t)*dt

Ora, una generica funzione F(x) può essere scomposta come somma di un termine costante e la sommatoria di termini a pulsazione multipla (si veda la “serie di Fourier”):

F(x) = \frac{a0}{2}+\sum\limits_{h = 1}^{\infty} [ \frac{ah}{2} *cos(hx)+ \frac{bh}{2} *sin(hx) ]

ah = \frac{1}{\pi}*\int_{-\pi}^{+\pi} *F(x)*cos(hx) dx

bh = \frac{1}{\pi}*\int_{-\pi}^{+\pi} *F(x)*sen(hx) dx

Quindi anche la potenza può essere rappresentata dal proprio contenuto armonico. Le interazioni tra corrente e tensione, ai fini del calcolo di potenza, avvengono per armoniche dello stesso ordine.

Trattandosi di sinusoidi, si può semplificare la trattazione definendo:

S = V*I [va]

P = V*I*cos(\phi) [w]

S = V*I* sen(\phi) [var]

Dove “V” e “I” sono i valori efficaci (r.m.s.) rispettivamente di tensione e corrente.

La potena attiva è la “componente continua” della potenza apparente mentre quella reattiva è il termine sinusoidale.

Situazione fasoriale

Utile ricordare che la corrente, in un carico reattivo, presenta uno sfasamento rispetto alla tensione a causa della natura stessa del carico. Su un condensatore, essendo la variabile di stato la tensione, la corrente è in anticipo su di essa. La tensione ai capi del condensatore è proporzionale alla carica accumulata. La corrente, che è una corrente di spostamento, si traduce nel suddetto accumulo di cariche. Deve esservi uno spostamento di cariche affinchè ci sia tensione.

Viceversa, su un induttore, la variabile di stato è la corrente. La forzante è la tensione. Si deve applicare una tensione per avere variazione di corrente. Tensione che è quindi in anticipo sulla corrente. (Notare che per avere una variazione a gradino della corrente bisognerebbe applicare una tensione infinita!).

Data la pulsazione elettrica \omega = 2*\pi*f si ha:

v(t) = \sqrt(2)Vcos(\omega t + \theta_v )
i(t) = \sqrt(2)Icos(\omega t + \theta_i )

Bisogna rammentare alcune formule trigonometriche per completare la trattazione :

cos(\alpha) cos(\beta) = \frac{1}{2}[cos(\alpha-\beta)+cos( \alpha+\beta )]
cos(\alpha+\beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)

Quindi:

p(t) = v(t)*i(t)=2VI\frac{1}{2}[ cos( \theta_v - \theta_i)+ cos(2\omega t + \theta_v+ \theta_i ) ]

Si ha dunque un termine a frequenza doppia.

Definendo \phi = \theta_v- \theta_i , il valor medio della p(t) vale:

Pm =VIcos(\phi)

Si può scomporre la corrente in due termini: corrente attiva i_a(t) e corrente reattiva i_r(t) . Considerando che la corrente è in ritardo(sul carico reattivo) sulla tensione:

i(t) = \sqrt(2)Icos(\omega t + \theta_v-\phi )

i_a(t) = \sqrt(2)Icos(\phi ) cos( \omega t + \theta_v )
i_r(t) = \sqrt(2)Isin(\phi ) cos( \omega t + \theta_v-\frac{\pi}{2} )

La potenza istantanea p(t) può essere scritta come somma dei termini reattivo ed attivo:

p(t) = v(t)*i(t)=v(t)[ i_a(t) + i_r(t) ]
p_a(t) = VIcos(\phi)[1+VIcos(2\omega t + 2 \theta_v )]
p_r(t) = VIsin(\phi)sin(2\omega t + 2 \theta_v )

Notare che p_a(t) è unidirezionale, dipendente dal segno di \phi.

Prendiamo ad esempio un carico R-L (si veda come risolvere un circuito generico).

In verde è riportata la forma d’onda di riferimento(pulsazione della tensione ) : la potenza presenta frequenza doppia. Plottando separatamente le tue componenti della potenza istantanea:

Come pronosticato, la potenza attiva è unidirezionale. La componente reattiva, dipende, appunto, dalla reattanza. Se si azzerasse la componente reattiva del carico, lasciando solo la componente resistiva, si avrebbe solo componente attiva.

Risolvendo invece il circuito in maniera analitica, non quindi tramite fasori, si osserva l’andamento dinamico della potenza istantanea, che a regime coincide con quella ottenuta dallo studio fasoriale.

Equazioni della maglia:
v(t)-R*i(t)-L* \frac{d i}{dt}-vl(t)=0

Script MatLab per la risoluzione del circuito RL:

close all
clear 
clc
%Dati 
R = 10;%[Ohm]
L = 0.1;% [H]
f = 50;%[Hz]
T=1/f;
w = 2pif;
Vmax=325;%[v]
V = Vmax/sqrt(2);
v = @(t) Vmaxsin(wt);

n=1000;
n_periodi =10;%numero di periodi in esame
t_span = [0 n_periodiT];%finestra temporale in esame
i_0 = 0; %corrente iniziale nulla  
f = @(t,i)  -(R/L)i+(1/L)* v(t); %equazione differenziale
options=odeset('InitialStep',T/n);
[t,i] = ode23(f, t_span, i_0,options);%solver
p = @(t) v(t).*i %potenza istantanea
figure
 plot(t,p(t),"linewidth",1.5)
 title("Dinamica della potenza istantanea")
 xlabel("Tempo [s]")
 ylabel("p(t)")
 grid on

La potenza istantanea mostra dei picchi nelle prime fasi del transitorio maggiori di quelli a regime. Si tratta della potenza di magnetizzazione: in pratica “si carica l’induttanza”.

Adattamento di impedenza

Data la serie di due impedenze si intende valutare quale è la condizione di massima potenza trasferita al carico:

Si analizza in continua, ma i risultati valgono anche per il caso in alternata.

Script MatLab:

close all
 clear 
 clc
 %Dati 
 [R1 R2] = meshgrid(1:1:15);
 V = 10;
 Ptot = ((V*(R2./(R1+R2))).^2)./R2;
 figure
 surf(Ptot)
 xlabel("R1")
 ylabel("R2")
 zlabel("Potenza trasferita")

Non è immediato dal grafico ma da un’attenta analisi si osserva che la potenza trasmessa è massima quando:

R1 = R2

Il picco di potenza si ha nelle regioni in cui R1 è bassa, altrove la tensione sul carico si abbassa (partitore) e dunque anche la potenza trasmessa.

Matteo Gentileschi

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