La trattazione fasoriale di un circuito elettrico può risultare incompleta. Un “Fasore” infatti è un numero complesso che (sul piano complesso) descrive una sinusoide di frequenza ben definita. La legge di Ohm permette di mettere in relazione Tensione e Corrente (il cui rapporto viene definito “impedenza”) .

NOTA : La legge di Ohm ha una chiave di lettura ben definita:

“in un bipolo resistivo Il rapporto tra tensione e corrente è costante ed è pari alla Resistenza”

Un fasore è quindi “definibile” sono per grandezze sinusoidali.

Definendo la frequenza ( = periodo ) , quindi la “Pulsazione” ), si può scrivere:

Il “Valore Efficace” (o “rms” , “Root Mean Square”, “valore quadratico medio”) è definito come:

Per una sinusoide, conoscendone il picco Xmax, si può scrivere:

Ed è quindi definibile il fasore. Se non si tratta di una sinusoide, come spesso accade le grandezze sono distorte, la precedente relazione non è più vera. Venendo a mancare l’andamento sinusoidale, il calcolo fasoriale perde di validità, portando ad errori sempre maggiori. Si noti che, ad esempio, i “tester” a “vero valore efficace” (true r.m.s.) eseguono calcoli (partendo dalla misurazione) partendo dalla definizione stessa di valore “rms”: il “firmware” ricostruisce gli andamenti delle grandezze nel tempo per poi applicare la definizione di “valore quadratico medio” (formula integrale) . Questo consente di avere una misura ottimale anche in caso di distrosione, cosa che non accade nei normali tester che basano il proprio funzionamento sul calcolo fasoriale (questi ultimi stano scomparando grazie all’aumento della “densità tecnologica” a cui sono sogetti tutti i dispositivi).

Le cause di distorisione sono molteplici: Presenza di componenti non lineari (es. diodi), falsi contatti, drenaggi di corrente (es. verso terra), “effetto corona” ecc. Si osservano quindi Tensioni e Correnti non sinusoidali. Inoltre, al variare di parametri o delle alimentazioni (esempio nella “presa di carico” di un motore elettrico o i primi istanti di alimentazione di un circuito) si hanno delle oscillazioni fino alla condizione di regime: dunque, nelle fasi di avviamento ad esempio, si avranno dei “transitori” e non è possibile quindi usare i fasori. Ad esempio, una grandezza a “gradino”(applicazione tensione continua ad un determinato istante, leggasi chiusura dell’interruttore!) il calcolo fasoriale sarebbe un errore concettuale (si pensi alla corrente continua, i fasori non sono definibili).

Si può pensare di scomporre la funzione non sinusoidale con la “Serie di Fourier”, ovvero come sommatoria di funzioni sinusoidali (opportunatamente calcolate) e utilizzare i fasori ad ogni ordine armonico (si tenga presente però che idealmente le armoniche sono infinite, pertanto è necessario approssimare). Oppure, come varrà illustrato in questa sede, si ricorre alle “equazioni costitive dei singoli componenti” risolvendo quindi equazioni differenziali.

Prima di procedere è consigliabile rammentare la definizione di “inerzia”.

Notare che in questa sede si utilizzerà la convenzione dei generatori e il sistema viene considerato a “costanti compatte”:

Resistenza R

Si applica tensione e la corrente assumerà istantaneamente il valore massimo calcolabile con la legge di Ohm. La trasformazione di potenza avviene grazie ad essa (gli altri bipoli “immagazzinano” energia ma non vi è trasformazione).

Induttanza L

La tensione ai capi dell’induttore è data dalla variazione di flusso ad esso concatenato. “L” rappresenta l’accoppiamento magnetico che ha con se stesso . Numericamente, l’autoinduttanza “L”, rappresenta il flusso di Induzione Magnetica che viene concatenato quando l’avvolgimento stesso è percorso da “1A” (le Mutue Induttanze non vengono considerate in quesa sede) . Osservando l’espressione si capisce perchè in un induttore la corrente è in ritardo rispetto alla tensione. Per inerzia il sistema tende ad opporsi alle variazioni di flusso:Tali variazioni sono dovute alle variazioni di corrente. Opponendosi quindi alle variazioni di corrente, che non può quindi variare a gradino. Applicando una tensione si osserverà una corrente “in ritardo”: tale aspetto emerge chiaramente a regime sinusoidale ove si può facilmente osservare un ritardo di 1/4 di periodo.

Si consideri un circuito R-L alimentato con una tensione a gradino.

Il sistema utilizzato è il seguente:

La soluzione analitica è:

Il profilo di corrente è il seguente:

Il transitorio si estingue trascorso un tempo di circa cinque volte la costante di tempo : trascorso invece un tempo si avrà un valore di corrente pari a

Dal grafico si deduce che all’istante iniziale l’induttore si comporta come un circuito aperto, ovvero si ha corrente nulla. Questo si spiega dicendo che “si oppone alle variazioni di flusso” e quindi alle variazioni di corrente. Una volta a regime il flusso di corrente verrà mantenuto costante pari al valore massimo: la tensione (media, che in questo caso corrisponde alla tensione totale essendo in continua) ai suoi capi sarà nulla.

Alimentando con una tensione sinusoidale si osserverà quanto detto in precedenza, ovvero che la corrente è in ritardo sulla tensione. Essendo presente una resistenza in serie lo sfasamento non sarà esattamente di 90° elettrici ma potrà essere calcolato grazie ai “fasori” (dagli argomenti delle grandezze fasoriali) una volta estinto in transitorio.

Nella fase transitoria, è presente una componente unidirezionale della corrente: il generatore fornisce la “potenza magnetizzante” necessaria a magnetizzare l’induttore.

Condensatore C

La tensione ai capi del condensatore è proporzionale alla carica in esso accumulata. La corrente non “attraversa” fisicamente il condensatore, che per natura è costituito da due armature di materiale conduttore tra le quali è interposto del “dielettrico” (isolante). Si avrà dunque una “corrente di spostamento”, ovvero dovuta allo spostamento delle cariche causato dall’azione del campo elettrico esterno (es. generatore di tensione). La cariche inizieranno a spostarsi, si accumuleranno e quindi salirà la tensione: la corrente è in anticipo rispetto alla tensione. A regime si osseerverà un anticipo di 90° elettrici.

Il sistema da risolvere è:

La soluzione è:

Da cui si può calcolare la corrente grazie alla legge di Ohm:

All’istante iniziale il condensatore è scarico (per snellire la trattazione) e quindi la tensione ai suoi capi è nulla. La differenza di potenziale sulla resistenza, la “driving force” è massima. La corrente sarà quindi massima. In seguito il condensatore si caricherà è la tensione ai suoi capi crescerà: raggiungerà il valore della tensione di alimentazione e la differenza di potenziale sulla rssistenza sarà nulla, di conseguenza lo sarà anche la corrente.

Sulla resistenza l’energia viene convertita in energia Termica per “effetto Joule”, Sull’induttanza in energia magnetica e sul condensatore in energia potenziale. La conversione tra energia elettrica in energia meccanica (e viceversa) passa attraverso il campo magnetico: grazie ai campi magnetici è possibile la generazione di forze elettrodinamiche (dall’interazione tra campi magnetici e correnti) che mettono in movimento un dispositivo (es. rotore di un motore elettrico).

Equazioni differenziali

Si deve quindi risolvere un “equazione differenziale “. Matlab mette a sisposizione la funzione “ODE” che consente di risolvere tali equazioni. Un generico sistema di equazioni differenziali può essere scritto come segue:

= matrice delle masse

= matrice di rigidezza

= termini noti (legati alle forzanti)

Matlab consente la risoluzione in maniera piuttosto semplice, la parte complicata sta nella scrittura della matrice A e del vettore b:

M = [… … … ; … … …];

K = [… … … ; … … …];

b = @(t) [… ; … ;… ];

t_span = [t_in t_fin]; %finestra temporale

x0 = [x0_1 x0_2 …]; %condizioni iniziali

Una volta inseriti i parametri le istruzioni utili allo scopo prefissato sono le seguenti:

options=odeset('Mass',M,'MassSingular','yes','RelTol',1e-4,'InitialStep',1e-4); 
 [t,x]=ode23t(@(t,x)(b(t)-K*x),t_Span,x0,options); %funzione ode23

Nella matrice “x” si avranno i valori nel tempo delle variabili di stato, mentre il vettore “t” conterrà il tempo.

Circuito generico

Un esempio aiuterà a comprendere la procedura da utilizzare.

Si prenda ad esempio il seguente circuito.

NOTA: Si tenga presente che i versi scelti per il calcolo non sono arbitrari e devono rispettare le convenzioni adottate.

Le variabili di stato (V.D.S.) in esame sono le correnti sugli induttori e le tensioni ai capi dei condensatori. Bisogna dunque scrivere quattro equazioni.

Il set di equazioni risulta essere:

condizioni iniziali:

Riscrivendo il sistema in termini matriciali (da fornire poi alla funzione ODE):

Da notare come l’alimentazione possa essere qualsiasi funzione del tempo piuttosto che costante come in questo caso: “b” può essere funzione del tempo.

Aseguire i risultati della simulazione:

Per avere riscontri sulla bontà del metodo proposto, è possibile calcolare (una volta a regime) il valore di picco della corrente in caso di alimentazione sinusoidale: calcolo fasoriale.

La corrente di ingresso è i1(t), L’impedenza vista dal generatore è banalmente calcolabile:

Svolgendo i conti inserendo dei dati numerici si osserverà coerenza con i risultati precedentemente trovati.

Notare l’errore commesso nella fase iniziale dell’evoluzione temporale.

Matteo Gentileschi

La differenza di temperatura tra due masse d’aria si traduce in “spinta di galleggiamento” (Archimede) che provoca una salita della massa d’aria più calda (d’altronde l’equiibrio tra fluidi è legato alla densità). Una massa d’aria più calda si eleverà rispetto a quella più freda (circostante) fino a raggiungere l’equilibro, ovvero fino a che non raggiunge un ambiente avente lo stesso stato Termodinamico.

Va premesso che l’aria è un cattivo conduttore (di calore ma anche di eletricità) e il sollevamento è piuttosto veloce rispetto alle costanti di tempo termiche che caratterizzano il sistema. Per tale motivo, la massa in esame non riesce a scambiare calore con l’ambiente: parleremo pertanto di trasformazione Adiabatica (quindi senza scambi di calore).

Ora, è bene rammentare che l’aria priva vi umidità è concetto teorico. La presenza di acqua (umidità) rende lo studio non approssimato alquanto complesso. Si tratta infatti di uno studio “psicrometrico” : non basterebbero formule analitiche ma servirebbero altri strumenti come, ad esempio, i diagrammi di Mollier. A chi pratica il Volo Sportivo da Diporto (V.D.S.) è suffiente conoscere, prendendoli come dogma, i seguenti valori:

Gradiente adiabatico secco

Gradiente adiabatico saturo

NOTA: i valori del gradiente adiabatico saturo vanno da 0.6 a 0.8 .

Il gradiente termico adiabatico varia a seconda dell’umidità dell’aria, o meglio dello stato della massa d’acqua contenuta al suo interno. Il vapore è un gas incolore mentre l’acqua allo stato liquido è visibile ad occhio nudo. Le nuvole, infatti, sono costiutuite da “aerosol” ovvero da particelle di acqua liquia sospese. l’umidità dell’aria può esser quindi “invisibile” ma è presente.

Si parla di umidità relativa, ovvero la quantità di vapore contenuto all’interno di una miscela “aeriforme-vapore” che, a parità di condizioni, presenta un limite ben preciso: A parità di pressione e temperatura la massa d’aria non può contenere più di un certo quantitativo di vapore, l’eccesso di acqua è sogetta ad un cambio di stato, ovvero viene “riportata” alla fase liquida (sottoforma di aerosol). Fino a che l’umidità relativa resta inferiore al 100% si considera “secca” e si usa appunto il “gradiente adiabatico secco”. Superata la “temperatura di rugiada”, ovvero la temperatura per la quale (a parità di pressione) si ha il 100% di umidità relativa, inizia a formarsi la fase liquida: Si ha saturazione, pertanto si parla di “gradiente adiabatico saturo”.

Per i gradienti adiabatici (secco e saturo) si utilizzano valori di riferimento (convenzione) che consentono di valutare se vi è o meno “stabilità”. Tali valori possono considerarsi costanti nel tempo e nello spazio, in prima approssimazione non dipendono dalle stagioni o dalla regione geografica. Quello che varia è invece il “gradiante termico verticale” , ovvero come varia la temperatura al variare dell’altezza, costruito previo misurazioni condotte nella zona in esame. Il grafico nel quale viene riportato il gradiente termico verticale viene detto “curva di stato”.

La massa d’aria salendo è soggetta ad una riduzione di pressione (la pressione, definita come “peso della colonna d’aria sull’unità di superficie”, diminuisce salendo di quota) e quindi si espande, compiendo lavoro di espansione perdendo “energia interna”:ciò si traduce in una diminuzione di temperatura (viceversa, scendendo viene compressa: essendo sogetta a lavoro esterno, l’ energia interna aumenta causando un aumento di temperatura). Quindi sale fino a che, come accennato, la temperatura interna non raggiunge la temperatura esterna (equilibrio).

Si noti che la temperatura dell’ambiente può sia aumentare che diminuire con la quota. In quest’ultimo caso parleremo di “inversione”.

Se il gradiente termico verticale è inferiore al gradiente adiabatico secco si ha “stabilità”: ovvero si raggiungerà l’equilibrio il prima possibile. Raggiunto tale equilibrio, la massa d’aria oscillerà lievemente intorno al punto di equilibrio per via delle inerzie per poi stabilizzarsi. Oltre quella quota non si sale.

Per dualismo, se il gradiente termico verticale è superiore al gradiente adiabatico secco, le differenze di temperatura saranno sempre più marcate al variare della quota. La “driving force” (forza di trascinamento) che causa l’elevamento della massa d’aria sarà sempre maggiore: l’equilibro (virtualmente) non viene mai raggiunto e la massa d’aria salirà sempre più veloce. Per tale motivo tale condizione è preferibile da chi pratica V.D.S. perchè consente di raggiungere quote più elevate.

Si parla di “equilibrio” indifferente in caso gradiente termico verticale e adiabatico assumano lo stesso valore.

Matematicamente si può interpretare il gradiente di temperatura come il coefficiente angolare delle rette.

Facendo un passo avanti, è bene fare alcune considerazioni sull’apparente “inutilità pratica” del gradiente adiabatico saturo.

Quando inizia la saturazione infatti iniziano a formarsi i cumuli tra i quali è caldamente consigliato non infilarsi. La riduzione del gradiente adiabatico (passando da secco a saturo) fornisce una spiegazione del perchè sia pericoloso volare in nube (oltre che per problemi, non banali, causati dalla scarsa visibilità). Questo infatti causa un incremento importante e quasi improvviso dell’instabilità con conseguente aumento delle accelerazioni in gioco e delle turbolenze .

La diminuzione del “gradiente adiabatico” può essere spiegato partendo dal fatto che la condensazione dell’acqua è un processo “esotermico”, ovvero restituisce calore all’ambiente (prelevato durante la fase di evaporazione: non è altro che il “principio di conservazione dell’energia”). Questo calore viene restituito alla massa d’aria e fa si che la temperatura diminuisca in modo minore durante l’espansione.

Tale aspetto spiega anche perchè quando piove si possono osservare importanti venti freddi al suolo: l’acqua “liquida” in sospensione può ulteriormente assobire calore e rievaporare . Il processo di evaporazione è “endotermico” ovvero preleva calore dall’ambiente raffreddando la massa circostante che quindi diventa “più pesante” dell’aria calda circostante e scende violentemente. Una volta raggiunto il suolo, che è un ostacolo al proprio moto, questa si “espanderà a ragiera” provocando i suddetti venti freddi (che possono essere piuttosto violenti e improvvisi). Questo fenomeno è (anche) conosciuto col nome di “vento di rilascio”.

Oltre il “punto di rugiada” si ha una variazione di pendenza. Notare come la differenza di temperatura aumenti più velocemente. In sostanza, stabilita la temperatura di rugiada si può dedure la quota a cui incomincia a formarsi il cumulo, detta in gergo “base-cumulo”. Si avrà base-cumulo alla quota in cui la temperatura della massa d’aria raggiunge la temperatura di rugiada. Ecco spiegato perchè i cumuli sono un eccellente indicatore di attività termica.

Un ulteriore fenomeno di interesse pratico è “l’inversone”. La temperatura che diminuisce con la quota, nel punto chiamato punto di “inversione” cambia inizia ad aumentare. Si ha un cambiamento si segno del gradiente termico verticale che da negativo diventa positivo. L’inversione può avvenire a quote molto basse e dai decolli è riconoscibile grazie ad una “foschia” osservabile guardando verso valle. Ci si aspetti turbolenza (anche importante) nell’attraversare lo strato di inversione.

Matteo Gentileschi

Un motore DC (come ogni macchina elettrica) è descrivibile per mezzo di equazioni differenziali. Si tratta di equazioni piuttosto note la cui soluzione può essere affidata a software quali Matlab o, ad esempio, Excel. Nel primo caso la risoluzione sarà relativamente più semplice (in termini di economia di tempo). In questa sede , prendendo in esame dati “verosimili”, tracceremo le caratteristiche di tensione, velocità e corrente di un motore DC a magneti permanenti (quindi non analizzando gli effetti di eventuali deflussaggi) alimentato da tensione continua (batteria ideale).

NOTA : Trattandosi si un “articolo di prova” verranno trascurate le perdite nel ferro, gli attriti dei cuscinetti, le perdite per “scintillio” (si tratta di un motore a spazzole) i termini mozionali ecc. Non verranno trattati i metodi per la risoluzione delle equazioni differenziali. Pertanto è da considerarsi come introduttivo.

Partiamo dal circuito equivalente:

Scrivendo l’equazione della maglia (equazione elettrica):

Rammentando che “e”, la forza elettromotrice indotta, è data dal prodotto tra velocità rotorica e costante di velocità e la copia motrice dal prodotto tra corrente di armatura e costente di coppia

Notere che si tratta di funzioni del tempo, con “t” tra parentesi: siamo in dinamica, il modello a regime non sarebbe sufficiente a descrivere il comportamento durante l’avviamento o la presa di carico. Per semplificare la notazione, di seguito si eviterà di specificarlo ma è bene tenerlo a mente.

L’equazione meccanica, noto il momento d’inerzia equivalente (dell’albero) , rappresentante la coppia dinamica (differenza tra coppia motrice copia resistente ) è la seguente:

La coppia motrice è data semplicemente dal prodotto tra corrente di armatura e costante di coppia .

NOTA: In prima approssimazione e si possono confondere, può essere utilizzato lo stesso valore per entrambe i parametri. la reazione di indotto della corrente di armatura tenderà,però, a deflussare la macchina. Essendo le due costanti proporzianali al flusso di macchina, è evidente che sarà minore di .

Il set di equazioni sarà quindi:

La velocità del rotore e la corrente di armatura sono variabili di stato (v.d.s.), lo si intuisce per il fatto che compaiono sotto derivata. Una scrittura di un sistema di derivate può essere la seguente:

Dove:

= termini noti (forzanti)

Quindi:

Per la risoluzione di tale sistema, si userà la funzione “ode23t” di Matlab che consente di risolvere le equazioni differenziali ordinarie di “ordine basso” (https://it.mathworks.com/help/matlab/ref/ode23.html). Segue il codice dello script:

Ra =1; %[ohm]
La = 0.01; %[H]
Ke = 1; %[V/rad]
Kt = 1; %[Nm/A]
Jeq = 0.05; %[Kgm^2]

Tau_e = La/Ra ; %costante di tempo elettrica

Tau_m = RaJeq/(Kt*Ke);%costante di tempo meccanica
A = [-Ra/La -Ke/La; Kt/Jeq 0]; %Matrice “A”

Va = @(t) 5;
Cr = @(t) 0;%[N/m]
b = @(t) [Va(t)/La; -Cr(t)/Jeq];
x0 = [0;0];
t_Span = [0 5*Tau_m];
[t,x]=ode23t(@(t,x)(A*x+b(t)),t_Span,x0); %funzione ode23

NOTA: la matrice [b] è funzione del tempo: coppia resistente e tensione di alimentazione , infatti, potrebbero variare nel tempo.

Il tempo di simulazione è cacolato tenendo presente le costanti di tempo meccanica () ed elettrica () . Dalla fisica, un qualsiasi transitorio può considerarsi esaurito trascorso un tempo pari a cinque volte la costante di tempo. In questo caso si considera un tempo pari a cinque volte (quattro volte dovrebbe esser sufficiente) la costante di tempo meccanica, essendo maggiore di quella elettrica (solitamente tempi meccanici sono maggiori di quelli elettrici):

NOTA: trascorso un tempo pari alla costente di tempo si avrà un valore di circa il 70% del valore a regime.

Scrivendo il polinimio caratteristico della matrice , ovvero (si ricorda che la matrice è la matrice identità):

Quindi, le costanti di tempo risultano essere:

Per determinare se il sistema è oscillante o meno è utile ragioanare sui poli. Se i poli sono reali il sistema non oscillerà. Viceversa, in caso di poli complessi e coniugati il sistema oscillerà. Trattandosi di un equazione di secondo grado, la formula per trovare le soluzioni (due soluzioni) è la seguente:

I poli sono reali se l’argomento della radice è positivo. In termini matematici se è verificata la seguente condizione:

Lo smorzamento è legato alla resistenza di armatura . Il diagramma a blocchi (funzione di trasferimento nel dominio di Laplace) risulta essere il seguente (anello di velocità):

Che rappresenta l’equazione (funzione di trasferimento) :

Lanciando la simulazione (valori dei parametri nel codice Matlab) si ha il seguente profilo di corrente.

Come prima cosa osserviamo che il sistema non oscilla. La massima corrente teorica la si ha all’istante iniziale. in quell’istante infatti La f.e.m. indotta è nulla, se non vi fosse l’indutanza il picco di corrente lo si avrebbe all’origine. Il modello meno approssimato però presenta un induttanza: per loro natura l’induttanza “si oppongono” alle variazioni di corrente e quindi non osserviamo una variaziono e gradino. Essendo la coppia resistente nulla, una volta arrivato a regime () la tensione di armatura è pari alla f.e.m. indotta : la forzante della corrente (sul gruppo RL) è nulla.

Se invece la coppia resistente non è nulla, a regime la corrente a regime (e quindi la coppia motrice ) sarà tale da bilanciare la coppia resistente (ri rammenta che la coppia e la corrente sono legate dalla costante di copia e quindi seguono lo stesso profilo)

Notare che la corrente “di spunto” (nelle fasi iniziali del transitorio) è maggiore rispetto al caso in cui l’albero non era calettato ad alcuno carico. Per quanto riguarda la velocità nonvece, non vi è alcuna differenza.

Osservando il grafico della velocità in presenza di coppia resistente si osserva che inizialmente essa diventa negativa. Le condizioni iniziali, nella fase di risoluzione delle equazioni differenziali (funzione ODE di Matlab) sono state imposte correttamente (x0 = [0;0];). Il fatto che giri nel verso opposto, nei primi istanti, è dovuto al fatto che la coppia resistente è stata brutalmente imposta non nulla: tenderà quindi a far girare il rotore nel verso opposto fino a che la corrente non sarà tale da rendere la coppia dinamica () positiva. Data la convenzione di segno utilizzata, sarà tale da far girare il ritore nel verso desiderato. Eseguendo uno “zoom” nel tratto in questione (ed imponendo una coppia resistente elevata per evidenziare tale aspetto) si ottiene il seguente risultato:

Precisazioni sul segno della coppia: La coppia dinamica è stata definita come . Imponendo una coppia resistente, a titolo di esempio, pari a , rammentando che la corrente iniziale è nulla (e quindi anche la coppia motrice) si avrà, all’istante zero, copia dinamica pari a Plottando tale equazione si a :

Quindi, in assenza di copia resistente la corrente di armatura a regime sarà nulla. Se, invece, si applica una coppia resistente (gradino di coppia all’istante zero) la corrente a regime sarà tale da bilanciare il sistema.

Se invece si hanno poli complessi e coniugati il sistema (come accennato) oscillerà. Lo smorzamento sarà, in questo caso rappresentato dalla resistenza di armatura .
Spero che tale “ripasso” possa esser utile a qualcuno. Si rammenta, comunque, che tali aspetti sono “di prima approssimazione”: non si fa cenno ad alcuna filosofia di controllo, si “monta” la macchina e si “da tensione” misurandone le v.d.s.. Per uno studio più approfondito, si consiglia vivamente di far rifermineto a Libri o comunque ad articoli tecnici relativi alla “dinamica delle macchine”.