Caratteristica dinamica motore DC

Un motore DC (come ogni macchina elettrica) è descrivibile per mezzo di equazioni differenziali. Si tratta di equazioni piuttosto note la cui soluzione può essere affidata a software quali Matlab o, ad esempio, Excel. Nel primo caso la risoluzione sarà relativamente più semplice (in termini di economia di tempo). In questa sede , prendendo in esame dati “verosimili”, tracceremo le caratteristiche di tensione, velocità e corrente di un motore DC a magneti permanenti (quindi non analizzando gli effetti di eventuali deflussaggi) alimentato da tensione continua (batteria ideale).

NOTA : Trattandosi si un “articolo di prova” verranno trascurate le perdite nel ferro, gli attriti dei cuscinetti, le perdite per “scintillio” (si tratta di un motore a spazzole) i termini mozionali ecc. Non verranno trattati i metodi per la risoluzione delle equazioni differenziali. Pertanto è da considerarsi come introduttivo.

Partiamo dal circuito equivalente:

Scrivendo l’equazione della maglia (equazione elettrica):

$V _{a } - R _{a } i _{a } (t)-L _{a } \frac{di _{a } }{dt}-e(t) = 0$

Rammentando che “e”, la forza elettromotrice indotta, è data dal prodotto tra velocità rotorica $\omega r$ e costante di velocità $Ke$ e la copia motrice $Cm$ dal prodotto tra corrente di armatura $ia(t)$ e costente di coppia $Kt$

$e(t) = \omega _{r} (t) Ke$

$C _{m } (t) = i _{a } (t) * Kt$

Notere che si tratta di funzioni del tempo, con “t” tra parentesi: siamo in dinamica, il modello a regime non sarebbe sufficiente a descrivere il comportamento durante l’avviamento o la presa di carico. Per semplificare la notazione, di seguito si eviterà di specificarlo ma è bene tenerlo a mente.

L’equazione meccanica, noto il momento d’inerzia equivalente (dell’albero) $Jeq$ , rappresentante la coppia dinamica (differenza tra coppia motrice $Cm$ copia resistente $Cr$ ) è la seguente:

$C _{m } - C _{r } = J _{eq } * \frac{d \omega _{r } }{dt}$

La coppia motrice $Cm$ è data semplicemente dal prodotto tra corrente di armatura $ia$ e costante di coppia $K _{t }$ .

NOTA: In prima approssimazione $K _{e }$ e $K _{t }$ si possono confondere, può essere utilizzato lo stesso valore per entrambe i parametri. la reazione di indotto della corrente di armatura tenderà,però, a deflussare la macchina. Essendo le due costanti proporzianali al flusso di macchina, è evidente che $K _{t }$ sarà minore di $K _{e }$ .

Il set di equazioni sarà quindi:

$V_{a }- R_{a}i_{a}-La\frac{dia}{dt}-K_{e} \omega _{r } = 0$

$K_{t} i _{a} - C _{r} = J _{eq } \frac{d \omega _{r } }{dt}$

La velocità del rotore $\omega r$ e la corrente di armatura $ia(t)$ sono variabili di stato (v.d.s.), lo si intuisce per il fatto che compaiono sotto derivata. Una scrittura di un sistema di derivate può essere la seguente:

$\begin {bmatrix} X' \end{bmatrix} = \begin {bmatrix} A \end{bmatrix} * \begin {bmatrix} X \end{bmatrix} + \begin {bmatrix} b \end{bmatrix}$

Dove:

$\begin {bmatrix} X \end{bmatrix} = \begin {bmatrix} ia \\ \omega r \end{bmatrix}$

$\begin {bmatrix} X '\end{bmatrix} = \frac{d}{dt} \begin {bmatrix} ia \\ \omega r \end{bmatrix}$

$\begin {bmatrix} b \end{bmatrix}$ = termini noti (forzanti)

Quindi:

$\frac{d}{dt} \begin {bmatrix} i _{a } \\ \omega _{r } \end{bmatrix} = \begin {bmatrix} \frac{-R _{a } }{L _{a } } &\frac{-K _{e } }{L _{a } }\\[6pt] \frac{K _{t } }{J _{eq } } &0 \end{bmatrix} * \begin {bmatrix} i _{a } \\ \omega _{r } \end{bmatrix} + \begin {bmatrix} \frac{V _{a } }{L _{a } } \\[6pt] \frac{-C _{r } }{J _{eq } } \end{bmatrix}$

Per la risoluzione di tale sistema, si userà la funzione “ode23t” di Matlab che consente di risolvere le equazioni differenziali ordinarie di “ordine basso” (https://it.mathworks.com/help/matlab/ref/ode23.html). Segue il codice dello script:

Ra =1; %[ohm]
La = 0.01; %[H]
Ke = 1; %[V/rad]
Kt = 1; %[Nm/A]
Jeq = 0.05; %[Kgm^2]

Tau_e = La/Ra ; %costante di tempo elettrica

Tau_m = RaJeq/(Kt*Ke);%costante di tempo meccanica
A = [-Ra/La -Ke/La; Kt/Jeq 0]; %Matrice “A”

Va = @(t) 5;
Cr = @(t) 0;%[N/m]
b = @(t) [Va(t)/La; -Cr(t)/Jeq];
x0 = [0;0];
t_Span = [0 5*Tau_m];
[t,x]=ode23t(@(t,x)(A*x+b(t)),t_Span,x0); %funzione ode23

NOTA: la matrice [b] è funzione del tempo: coppia resistente $Cr$ e tensione di alimentazione $V _{a }$ , infatti, potrebbero variare nel tempo.

Il tempo di simulazione è cacolato tenendo presente le costanti di tempo meccanica ( $\tau m$ ) ed elettrica ( $\tau _{e }$ ) . Dalla fisica, un qualsiasi transitorio può considerarsi esaurito trascorso un tempo pari a cinque volte la costante di tempo. In questo caso si considera un tempo pari a cinque volte (quattro volte $\tau$ dovrebbe esser sufficiente) la costante di tempo meccanica, essendo maggiore di quella elettrica (solitamente tempi meccanici sono maggiori di quelli elettrici):

$T _{finale } =5\tau _{m }$

NOTA: trascorso un tempo pari alla costente di tempo $\tau$ si avrà un valore di circa il 70% del valore a regime.

Scrivendo il polinimio caratteristico della matrice $\begin {bmatrix} A \end{bmatrix}$ , ovvero (si ricorda che la matrice $\begin {bmatrix}Id \end{bmatrix}$ è la matrice identità):

$det(\begin {bmatrix} A \end{bmatrix} -s\begin {bmatrix} Id \end{bmatrix} )=0$

$det( \begin {bmatrix} \frac{-R _{a } }{L _{a } } &\frac{-K _{e } }{L _{e } }\\[6pt] \frac{K _{t} }{J _{eq } } &0 \end{bmatrix} - s \begin {bmatrix} 1 &0\\[6pt] 0 &1 \end{bmatrix}) = s^2 + \frac{R _{a } }{L _{a } } *s+ \frac{K _{e } *K _{t } }{J _{eq } * L _{a } } = s^2 + \frac{1}{ \tau _{e } } *s+ \frac{1}{ \tau _{m } * \tau _{e } } = 0$

Quindi, le costanti di tempo risultano essere:

$\tau _{e } = \frac{L _{a } }{ R _{a } }$

$\tau _{m } = \frac{R _{a } * J _{eq } }{K _{t } *K _{e } }$

Per determinare se il sistema è oscillante o meno è utile ragioanare sui poli. Se i poli sono reali il sistema non oscillerà. Viceversa, in caso di poli complessi e coniugati il sistema oscillerà. Trattandosi di un equazione di secondo grado, la formula per trovare le soluzioni (due soluzioni) è la seguente:

$s12 = \frac{- \frac{- 1}{\tau _{e } } \pm \sqrt { \frac{- 1}{\tau _{e } ^2} - 4 * \frac{-1}{\tau _{e } * \tau _{m } } } }{2}$

I poli sono reali se l’argomento della radice è positivo. In termini matematici se è verificata la seguente condizione:

$\tau _{e } \leq \frac{ \tau _{m } }{ 4}$

Lo smorzamento è legato alla resistenza di armatura $R _{a }$ . Il diagramma a blocchi (funzione di trasferimento nel dominio di Laplace) risulta essere il seguente (anello di velocità):

Che rappresenta l’equazione (funzione di trasferimento) :

$V _{a } = I _{a } R _{a } +L _{a } sI _{a } +K _{e} \omega _{r } \rightarrow V _{a } - K _{e } \omega _{r } = I _{a } *(R _{a } +L _{a } s)$

$C _{m } = K _{t } I _{a } = K _{t } I _{a } -C _{r } = J _{eq } s \omega _{r }$

Lanciando la simulazione (valori dei parametri nel codice Matlab) si ha il seguente profilo di corrente.

Come prima cosa osserviamo che il sistema non oscilla. La massima corrente teorica la si ha all’istante iniziale. in quell’istante infatti La f.e.m. indotta è nulla, se non vi fosse l’indutanza il picco di corrente lo si avrebbe all’origine. Il modello meno approssimato però presenta un induttanza: per loro natura l’induttanza “si oppongono” alle variazioni di corrente e quindi non osserviamo una variaziono e gradino. Essendo la coppia resistente nulla, una volta arrivato a regime ( $e = K _{e } * \omega _{r} = V _{a }$ ) la tensione di armatura è pari alla f.e.m. indotta : la forzante della corrente (sul gruppo RL) è nulla.

Se invece la coppia resistente non è nulla, a regime la corrente a regime (e quindi la coppia motrice $C_{r }$ ) sarà tale da bilanciare la coppia resistente (ri rammenta che la coppia e la corrente sono legate dalla costante di copia $K _{t }$ e quindi seguono lo stesso profilo)

Profilo di corrente (la coppia a regime è tale da bilanciare la coppia resistente)

Notare che la corrente “di spunto” (nelle fasi iniziali del transitorio) è maggiore rispetto al caso in cui l’albero non era calettato ad alcuno carico. Per quanto riguarda la velocità nonvece, non vi è alcuna differenza.

Velocità rotorica in assenza di carica (Cr=0)

Velocità rotorica in presenza di coppia resistente Cr

Osservando il grafico della velocità in presenza di coppia resistente si osserva che inizialmente essa diventa negativa. Le condizioni iniziali, nella fase di risoluzione delle equazioni differenziali (funzione ODE di Matlab) sono state imposte correttamente (x0 = [0;0];). Il fatto che giri nel verso opposto, nei primi istanti, è dovuto al fatto che la coppia resistente $Cr$ è stata brutalmente imposta non nulla: tenderà quindi a far girare il rotore nel verso opposto fino a che la corrente non sarà tale da rendere la coppia dinamica ( $Cm-Cr$ ) positiva. Data la convenzione di segno utilizzata, sarà tale da far girare il ritore nel verso desiderato. Eseguendo uno “zoom” nel tratto in questione (ed imponendo una coppia resistente elevata per evidenziare tale aspetto) si ottiene il seguente risultato:

“ZOOM” della velocità dei primi istanti del transitorio in caso di coppia resistente non nulla

Precisazioni sul segno della coppia: La coppia dinamica è stata definita come $C _{m } -C _{r }$ . Imponendo una coppia resistente, a titolo di esempio, pari a $C _{r } = \frac{N}{m}$ , rammentando che la corrente iniziale è nulla (e quindi anche la coppia motrice) si avrà, all’istante zero, copia dinamica pari a Plottando tale equazione si a $C _{m } -C _{r } = - 3\frac{N}{m}$ :

Il rotore girerà nel verso desiderato quando la coppia dinamica è positiva

Quindi, in assenza di copia resistente la corrente di armatura a regime sarà nulla. Se, invece, si applica una coppia resistente $C _{r }$ (gradino di coppia all’istante zero) la corrente a regime sarà tale da bilanciare il sistema.

Se invece si hanno poli complessi e coniugati il sistema (come accennato) oscillerà. Lo smorzamento sarà, in questo caso rappresentato dalla resistenza di armatura $R _{a }$ .
Spero che tale “ripasso” possa esser utile a qualcuno. Si rammenta, comunque, che tali aspetti sono “di prima approssimazione”: non si fa cenno ad alcuna filosofia di controllo, si “monta” la macchina e si “da tensione” misurandone le v.d.s.. Per uno studio più approfondito, si consiglia vivamente di far rifermineto a Libri o comunque ad articoli tecnici relativi alla “dinamica delle macchine”.

Lune Elettriche

"Amo colui che tutto dona e nulla restituisce"

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