mattgent1991

Effetto Ferranti

L’ingegnere britannico Sebastian Ziani de Ferranti osservò che durante la notte , quindi in condizioni di basso carico, le tensioni ai nodi della rete elettrica londinese erano maggiori di quelle impresse. Tale fenomeno, ormai noto, prende il nome di “Effetto Ferranti” . Per trattare tale fenomeno è necessario fare una breve riassunto della teoria delle linee elettriche.

Linee elettriche

Una line alettrica consente di trasportare energia elettrica tra due punti. L’elevata efficienza di questo traferimento spiega la diffusione del vettore elettrico come principale forma di energia.

S =

R=

La generica “cella elementare” di una linea, ovvero relativa al tratto “dx”, è il seguente:

Cella elementare della linea

Resistenza di linea “r”

La resistenza di un conduttore lungo “l” è di sezione “S”:

R = \rho \frac{l}{S} => \frac{R}{l} = \frac{ \rho }{S}

Bisogna rammentare che la resistenza di un conduttore in DC non coincide con quella in AC. Tale fenomeno è conosciuto come “effetto pelle”. A causa delle interazioni tra campo magnetico (esterno ed interno) e le cariche, quest’ultime vengono spinte verso la periferia del conduttore con conseguente diminuzione della sezione utile. Questo si traduce in un umento di resistenza.

La variazione di resistenza, legata alla frequenza, è legata al rapporto tra “spessore di penetrazione” \delta e sezione del conduttore S :

\delta = \sqrt{ \frac{\rho}{\pi \mu f} }

All’aumentare della frequenza diminuisce lo spessore di penetrazione e quindi la resistenza AC tende ad avvicinarsi a quella DC. Viceversa, all’aumentare della resistività lo spessore di penetrazione aumenta e quindi la resistenza AC tende ad essere sempre più grande rispetto a quella in DC.

Conduttanza di linea “g”
Legata alla corrente che si disperde radialmente nei conduttori e all’effetto corona. L’effetto corono è dovuto ad una ionizzazione dell’aria intorno al conduttore, si aprono canali ionizzati che consentono il passaggio di cariche. L’accelerazione delle particelle fa si che queste emettano onde elettromagnetiche anche nello spettro visibile causando una suggestiva “illuminazione dell’aria”. Ovviamente l’arco elettrico si estingue al passaggio per lo zero della tensione che, a 50Hz avviene 100 volte al secondo: questo fa si che si abbia anche una modulazione audio nello spettro udibile, ecco spiegato il classico ronzio. Ovviamente l’effetto pelle è dissipativo oltre che causa di distorsioni di tensioni e correnti.

Capacità di linea “c”

Il sistema conduttore-isolante-conduttore è per definizione un conduttore. Per tali motivi si hanno accoppiamenti capacitivi fase-fase e fase-terra. La corrente che interessa tali fenomeni sarà quindi una corrente di spostamento.

Induttanza lineica “l”
Dovuta ai concatenamenti di campi esterni ed interni al conduttore.

Equazioni

Dallo schema della cella elementare si può scrivere quanto segue (si utilizza la convenzione dei generatori) :

\frac{d\mathbf{V}(x) }{dx} = -(r+j \omega l)\mathbf{I}(x)
\frac{d\mathbf{I}(x) }{dx} = -(g+j \omega c) \mathbf{V}(x)

La corrente \frac{d\mathbf{I}(x) }{dx} è sostenuta quindi dalle perdite e dagli effetti capacitivi. Si tratta di equazioni differenziali alle derivate parziali analoghe, pertanto tensione e corrente avranno lo stesso andamento lungo la linea.

I parametri r,c,g e l sono indipendenti da x. Pertanto si può scrivere:

\frac{d^2\mathbf{V}(x) }{dx^2} = (r+j \omega l) (g+j \omega c) \mathbf{V}(x) = \mathbf{ \gamma} ^2 \mathbf{V}(x)

Dove \gamma viene definita come costante di propagazione e viene espressa in [m^{-1}] :

\gamma = \sqrt{ (r+j \omega l) (g+j \omega c) }

Il contenuto informativo di gamma è contenuto nella parte immaginaria in quanto decisamente maggiore della parte reale.

Una soluzione è

\mathbf{V}(x)= A e^{- \gamma x} + B e^{\gamma x}

Le costanti A e B vengono calcolate dalle condizioni al contorno, ovvero :

\mathbf{V}(0)= A+ B = V_S

\mathbf{V}(a)= A e^{- \gamma a} + B e^{- \gamma a} = V_R

Dove “a” è la lunghezza della linea. Inoltre si difinisce l'”impedenza caratteristica della linea” [Z_0]

\mathbf{I}(x) = - \frac{1}{(r+j \omega l) } \frac{d\mathbf{V}(x) }{dx} = - \frac{\gamma }{(r+j \omega l) } (-A e^{- \gamma x} + B e^{\gamma x} ) = - \mathbf {Z_0 } (-A e^{- \gamma x} + B e^{\gamma x} )

\mathbf {Z_0 } = \sqrt{ \frac{ (r+j \omega l) }{(g+j \omega c) } }

Quindi i parametri A e B diventano:

\mathbf{A}= \frac{ \mathbf{V_R }+ \mathbf {Z_0 } \mathbf{I_R } }{2} e^{\gamma a}
\mathbf{B}= \frac{ \mathbf{V_R }- \mathbf {Z_0 } \mathbf{I_R } }{2} e^{-\gamma a}

Eseguendo una sostituzione e ragionando in termini trigonometrici (si rammenta che le funzioni trigonometriche con argomenti complessi diventano funzioni iperboliche):

\mathbf{V}(x)= cosh[\gamma (a-x)] \mathbf{V_R } + \mathbf {Z_0 } sinh[ \gamma (a-x)] ] \mathbf{I_R }

\mathbf{I}(x)= \frac{ sinh[\gamma (a-x)] }{ \mathbf {Z_0 } }\mathbf{V_R } + \mathbf {Z_0 } cosh[ \gamma (a-x)] ] \mathbf{I_R }

Doppio bipolo

La linea è quindi rappresentabile come un doppio bipolo avente la matrice di trasmissione [T]:

[T] = \begin {bmatrix} cosh(\gamma a) & \mathbf {Z_0 } sinh( \gamma a) \\[6pt] \frac{sinh(\gamma a) }{ \mathbf {Z_0 } } & cosh(\gamma a) \end{bmatrix}

\begin {bmatrix} \mathbf{V_S } \\[6pt] \mathbf{I_S } \end{bmatrix} = \begin {bmatrix} T \end{bmatrix} \begin {bmatrix} \mathbf{V_R } \\[6pt] \mathbf{I_R } \end{bmatrix}

Si può approssimare la linea come “linea senza perdite”, ovvero se sono valide le seguenti ipotesi:

r<< j\omega l
g<< j\omega c

Quindi ne risulta che la costante di propagazione \gamma e l’impedenza caratteristica valgono:

\gamma = j \omega \sqrt{lc }

Z_0 = \sqrt{ \frac{l}{c} }

L’impedenza caratteristica non dipende più dalla pulsazione.

Ricordando le relatrioni trigonometriche tra funzioni inperboliche e non:

cosh( \gamma a) = cos(\omega \sqrt{l c} a) = cos(\theta )

sinh( \gamma a) =j sin(\omega \sqrt{l c} a) = j sin (\theta )

Pertanto, in una linea senza perdite, si avrà la seguente relazione:

[T] = \begin {bmatrix} cos(\theta ) & j\mathbf {Z_0 } sin( \theta ) \\[6pt] \frac{j sin(\theta ) }{ \mathbf {Z_0 } } & cos(\theta ) \end{bmatrix}

Le tensioni e le correnti sono quindi “onde”. Fissato un punto della linea in quel punto è possibile calcolare gli andamenti spaziali, mentre fissato un istante di tempo è possibile calcolare l’ampiezza istantanei in qualunque punto della linea.

f(u \pm vt )

Diretta e inversa. La linea può essere studiata indifferentemente partendo da un estremo o un’altro.

L’ipotesi del sistema a costanti compatte decade quando le lunghezze d’onda dei fenomeni sono compatibili con le dimensioni geometriche. Definendo quindi la velocità di propagazione v :

v = \frac{1}{ \sqrt{lc }}

La lunghezza d’onda \lambda è definita come:

\lambda = \frac{v}{f}

Sovratensioni in uscita

Come detto, la sovratensione in uscita si osserva in caso di basso carico in uscita. Il caso peggiore è dunque la linea a vuoto (IR = 0). Utilizzando la matrice di trasmissione delle linee senza perdite, si può scrivere quindi:

\mathbf{V_S}= cos(\theta ) \mathbf{V_R } + j \mathbf {Z_0 } sin(\theta ) \mathbf{I_R } = cos(\theta ) \mathbf{V_R }

Eseguendo lo svuluppo in serie della funzione coseno, tagliata al secondo ordine:

cos(x) = 1 - \frac{x^2 }{2}+ o(x^2)

\mathbf{V_S}= cos(\theta ) \mathbf{V_R } =( 1 - \frac{\theta ^2 }{2} ) \mathbf{V_R }

Da cui si può scrivere:

\mathbf{V_R}= \mathbf{V_S } \frac{1}{1 - \frac{\theta ^2 }{2} } = \mathbf{V_S } \frac{1}{ 1 + \frac{1 }{2} \omega^2 l c a^2 }{2}

Risulta evidente come tale scrittura descriva un partitore L-C:

schema descritto dalla precendente formula

Xl = j\omega l a

Xc =-\frac{1}{ j\omega l a}

Dove “a” è la lunghezza della linea. La tensione di uscita in funzione della tensione di ingresso (ricordando che IR=0) è pari a :

\mathbf{V_R}= \mathbf{V_S } \frac{ -\frac{1}{ j\omega l a} }{ j\omega l a -\frac{1}{ j\omega l a} } = \mathbf{V_S } \frac{1}{1+ \frac{1 }{2} \omega^2 l c a^2 }

Prendendo come valore base proprio VS, la sovratensione (in p.u.) è data da:

\frac{ \mathbf{V_R} - \mathbf{V_S} }{ \mathbf{V_S} } = \frac{1 }{2} \omega^2 l c a^2

Notare come tale effetto si accentui all’aumentare della lunghezza della linea. Le linee in cavo presentano capacità maggiori rispetto alle linee aeree pertanto le sovratensioni saranno più marcate.

Quest’ultimo aspetto diventa critico in presenza di “sovrarifasamento”. Una volta che (per vari motivi) il carico varia o viene diaconnesso, la rete vedrà soltanto il condensatore per il rifasamento: carico fortemente capacitivo che provoca, per effetto Ferranti, una sovratensione.

Matteo Gentileschi


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